Дмитрий Чистяков родился 13-го января 1994-го года в городе Пикалёво, Ленинградской области. Вместе с братом с малых лет посещал местную футбольную школу, выступал за детские команды двух «Металлургов» — пикалёвского и тихвинского. Во время матча за последний и был замечен представителями академии «Зенита».

В 2012-ом году Чистяков на полгода ездил в «Ростов», где успел дебютировать в молодежном первенстве. После возвращения в «Зенит», Дмитрий начал привлекаться с начала к матчам молодежной команды, а потом и к выступлениям за «Зенит-2». Суммарно Чистяков сыграл за молодежку и дубль «Зенита» 86 матчей, но так и не получил шанса дебютировать за главную команду.

Сезон 2015/16 Чистяков провел в Армении, где выступал на правах аренды за команду «Мика». Следующие три с половиной года защитник провел в ФНЛ, защищая цвета «Шинника» и «Тамбова». Летом 2019-го Чистяков подписал длительный контракт с «Ростовом» и наконец-то дебютировал в элитном дивизионе российского футбола. Дмитрий здорово себя проявил и даже удостоился вызова в национальную сборную страны.

15-го октября 2020-го года Дмитрий Чистяков на правах аренды перешел в «Зенит». У петербургского клуба есть приоритетное право выкупа исполнителя.